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Exercice I

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A, B et C d’affixes respectives \( - 1 + i\sqrt 3 \); 2 et \( - 1 - i\sqrt 3 \).
1. Détermine la mesure principale de l’angle orienté \(\left( {\widehat {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} }} \right)\).
2. Donne une interprétation de \(\left| {\frac{{{Z_A} - {Z_B}}}{{{Z_C} - {Z_B}}}} \right|\).
3. Déduis-en que : AB = BC

Exercice II

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives \(5 + i\); \( - 2\); \(1 + i\) et \( - 4 - 2i\)
1. Trace les droites (AD) et (BC).
2. Démontre que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

Exercice III

On considère les points A, B et C d’affixes respectives \(2 + i\sqrt 3 \); \( - 1\) et \(11 + 4i\sqrt 3 \).
Démontre que les points A, B et C sont alignés.

Exercice IV

On considère les points A, B, C et H d’affixes respectives \( - 3 - i\); \( - 2 + 4i\); \(3 - i\) et \( - 2\).
1) Trace les droites (AH) et (BC).
2) Démontre que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires

Exercice V

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives \(−2? \); \(7 – ?\) et \(8 + 2?\) et \(−1 + 5?\).
a) Place les points A, B, C et D dans le repère.
b) Démontre que les points A, B, C et D sont cocycliques.

Exercice VI

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A, B et C d’affixes respectives \(1 + ?\) ; \(3\) et \(3 + 5?\).
1.a) Place les points A, B et C dans le repère (O, I, J).
1.b) Démontre que le triangle ABC est rectangle en A.
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives \(−3 + 2?\) ; \(−2 − 3?\) et \(3 − 2?\) Démontre que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
3. On considère les points A, B et C d’affixes respectives\( - 1 + i\sqrt 3 \); 2 et\( - 1 - i\sqrt 3 \). Démontre que le triangle ABC est équilatéral.

Exercice VII

Soient A, B, C, D quatre points d'affixes respectifs : \( - 1 + i\), \( - 1 - i\), \(2i\) et \(2 - 2i\)
1) Étudier la nature des triangles ABC et BCD.
2) Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.